Question

17．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线，则${∫}_{-1}^{1}$[（x+2）f（x）]dx=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 利用待定系数法先求出函数f（x）在[-1，1]上的表达式，利用分段函数的积分公式进行计算即可．

解答 解：当-1≤x≤0时，函数f（x）是线段，过（-1，0），（0，1），
此时对应的直线方程为$\frac{x}{-1}+\frac{y}{1}$=1，即-x+y=1，
则此时y=f（x）=x+1，-1≤x≤0，
当0≤x≤1时，函数f（x）是线段，过（1，0），（0，1），
此时对应的直线方程为$\frac{x}{1}+\frac{y}{1}=1$，即x+y=1，
则此时y=f（x）=-x+1，0≤x≤1，
则${∫}_{-1}^{1}$[（x+2）f（x）]dx=∫${\;}_{-1}^{0}$[（x+2）（x+1）]dx+${∫}_{0}^{1}$[（x+2）（-x+1）]dx
=∫${\;}_{-1}^{0}$（x²+3x+2）dx+${∫}_{0}^{1}$（-x²-x+2）dx
=（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²+2x）|${\;}_{-1}^{0}$+（-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+2x）|${\;}_{0}^{1}$
=0-（-$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$-2）+（-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$+2）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{2}$+2-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$+2=2，
故选：C．

点评 本题主要考查函数积分的计算，利用待定系数法求出函数的解析式以及利用分段函数的积分公式是解决本题的关键．