Question

19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证PA∥平面EDB；
（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．
（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大小．

解答 证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，
∵OE?平面EBD，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．
解：（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设PD=DC=1，则D（0，0，0），P（0，0，1），
B（1，1，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
设二面角C-PB-D的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴二面角C-PB-D的大小为60°．

点评 本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．