Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设数列{b_n}满足b_n=

n Sn

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

3n+2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2（2-1），a₂=11，由此能求出a₁．
（2）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，得a_n=na_n-3n（n-1）-（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），从而得到数列{a_n}是首项a₁=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．
（3）由bn=

n Sn

=

1

3n+2

=

2

2 3n+2

＜

2

3n-1 + 3n+2

=

2

3

（

3n+2

-

3n-1

），由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

3n+2

．

解答： 解：（1）∵S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
∴S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2（2-1），
∵a₂=11，解得a₁=5．（2分）
（2）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，
得a_n=na_n-3n（n-1）-（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），（4分）
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1），
∴a_n-a_n-1=6，n≥2，n∈N^*，（6分）
∴数列{a_n}是首项a₁=5，公差为6的等差数列，
∴a_n=a₁+6（n-1）=6n-1，（7分）
∴Sn=

n(a1+an)

2

=3n2+2n．（8分）
（3）证明：∵bn=

n Sn

=

1

3n+2

=

2

2 3n+2

＜

2

3n-1 + 3n+2

（10分）
=

2( 3n+2 - 3n-1 )

( 3n+2 + 3n-1 )( 3n+2 - 3n-1 )

=

2

3

(

3n+2

-

3n-1

)，（11分）
∴b1+b2+…+bn＜

2

3

[(

5

-

2

)+(

8

-

5

)+…+(

3n+2

-

3n-1

)]（13分）
=

2

3

(

3n+2

-

2

)＜

2

3

3n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

3n+2

．（14分）

点评：本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用．