Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=k2ⁿ-k（其中k为常数），且a₂=4．
（1）求a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=k2ⁿ-k，求得a₁=S₁=2k-k=k，结合a₂=4求得k，则a₁=2，由当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2ⁿ求得an=2n；
（2）把a_n代入na_n，得nan=n•2n，然后利用错位相减法求数列{na_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由S_n=k2ⁿ-k，得a₁=S₁=2k-k=k，
a₂=S₂-S₁=4k-k-k=2k=4，解得k=2．
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2．
则a₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2ⁿ，
验证n=1时上式成立，
∴an=2n；
（2）nan=n•2n，
则Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
两式作差得：-Tn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．