Question

【题目】已知函数有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若对任意存在使得成立，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求得，令，得到，设，

利用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式组，即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得到，把对任意，存在，使得成立，转化为，化简，

令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解.

（Ⅰ）由函数，则，

令，可得，

设，则，

令，解得，

列表如下：

	+	0	-
	单调递增		单调递减

所以的极大值为，

又因为，

所以函数有两个不同的极值点等价于，解得，

因此实数的取值范围为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，

设的较大零点为，则，

且，；，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

从而有最大值为，

又当时，，故可设函数的值域为，其中，

由题意：对任意，存在，使得成立，

等价于，

而，且，

所以，，

令，则，

所以在上单调递减，

所以，故，

因此.