题目内容
【题目】已知椭圆的焦点坐标是,过点
且垂直于长轴的直线交椭圆于
两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于不同的两点
,问三角形
内切圆面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及此时直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;
;
【解析】
(1)由通径长度可求得,再结合
即可求解;
(2)设直线方程为,联立直线和椭圆方程可得关于
的一元二次方程,求解出韦达定理,又由几何性质可得,
,再由三角形的内切圆的面积公式
,
内切圆面积为
,结合三个关系式可知,要使
最大,即使
最大,最终结合换元法和对勾函数可求最值;
设,代入标准方程
可得
,又
,
故,又
,求得
,故椭圆的标准方程为:
;
(2)由题可知要使三角形内切圆面积最大,即使内切圆半径最大,而三角形面积的两个等价公式有①,
②,
其中,联立两式可得
,设过
的直线方程为
,显然直线斜率不为0,联立
,则
,
令,则
,由对勾函数性质可知,当且仅当
时,即
时,
取到最小值,又
,
时,
单增,故
,
,
,
此时,直线方程为:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?