Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点、，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析导函数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，利用韦达定理可将表示为以为自变量的函数，换元，可得出，令，利用导数求出函数在上的值域，由此可得解.

（1）函数的定义域为，

，令.

当，即时，，则对任意的恒成立，

此时函数在上单调递增；

当时，对任意的恒成立，

此时函数在上单调递增；

当时，有两个正根，分别为，，

当或时，；当时，.

此时函数在，上单调递增，在上单调递减.

综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；

当时，函数的单调递增区间是，，

单调递减区间是；

（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，

由韦达定理可得，，，，，

，，，

，

令，则，设，

，

当时，，当时，.

所以，函数在单调递增，在单调递减，

，

因此，的取值范围是.