Question

12．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{x}{2}}$+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]最小值为0，求m的值；
（3）若函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义可知f（-x）=f（x），然后化简可得2k+1=0，可求出k的值；
（2）转化为含参数的二次函数的最值问题求解；
（3）令y=log₄（4^x+1）-x，由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正，当a＞0时，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零点，当a≤0时，y=log₄（4^x+1）-x-b没有零点．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-$\frac{1}{2}$
（2）由题意函数h（x）=4^f（x）+x+m•2^x-1=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，则y=t²+mt，t∈[1，3]，
∵函数y=t²+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-$\frac{m}{2}$故
当-$\frac{m}{2}$≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，
当1＜-$\frac{m}{2}$＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-$\frac{m}{2}$时，函数取最小值$\frac{{m}^{2}}{4}$-=0，解得：m=0（舍去），
当$-\frac{m}{2}$≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
综上所述，存在m=-1满足条件
（3）证明：由（1）得f（x）=log₄（4^x+1），函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点
即方程log₄（4^x+1）-x=a无解，
令y=log₄（4^x+1）-x${log}_{4}^{（1+\frac{1}{{4}^{x}}）}$，
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当a＞0时，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的角点，此时函数y=f（x）的图象与直线 当a≤0，y=log₄（4^x+1）-x-b没有零点，
此时，函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点，a的取值范围为a≤0

点评 本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数零点的判定定理，属于中档题．