Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$+$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若方程f（x）=0恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，根据函数的极值，求出a的范围即可；
（Ⅱ）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，从而求出a的值，求出函数的解析式即可．

解答 解：（I）由f（0）=0，解得：c=0，
故f′（x）=x²+ax+b，f′（1）=0，得：b=-a-1，
∴f′（x）=（x-1）（x+a+1），
由f′（x）=0，解得：x=1或x=-a-1，因为当x=1时取得极大值，
所以-a-1＞1，得：a＜-2，所以a的范围是（-∞，-2）；          …（5分）
（II）由下表：

x	（-∞，1）	1	（1，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值-$\frac{1}{2}$a-$\frac{2}{3}$	递减	极小值（$\frac{1}{6}$a+$\frac{2}{3}$）（a+1）2	递增

依题意得：（$\frac{1}{6}$a+$\frac{2}{3}$）（a+1）²=0，解得：a=-4，
所以函数f（x）的解析式是：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x                     …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．