题目内容
2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}+bx+c，x＜1}\\{alnx，x≥1}\end{array}\right.$图象过点（-1，2），且在该点处的切线与直线x-5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；
（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？
分析 （1）求得x＜1时f（x）的导数，可得切线的斜率，由f（-1）=2，解方程可得b，c的值；
（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则q（-t，t3+t2），且t≠1．对t讨论，t＞1，0＜t＜1，通过构造函数，求得单调性，考虑方程-t2+f（t）•（t3+t2）=0有解，即可判断存在性．
解答 解：（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，则f′（x）=-3x2+2x+b，
由题意知$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=b-5=-5}\\{f（-1）=2}\end{array}\right.$，解得b=c=0．
（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），
则q（-t，t3+t2），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
即-t2+f（t）•（t3+t2）=0，（1）
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解，
若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解．
若t＞1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt，
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$＞0在[1，+∞）上恒成立，
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解，
所以对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查存在性问题的解法，以及构造法的运用，分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．
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