Question

若a，b，c为关于x的方程x³-x²-x+m=0的三个实根，则m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．

解答： 解：令函数y=x³-x²-x，
则y′=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
当x＜-

1

3

时，y′＞0，y=x³-x²-x单调递增，
当-

1

3

＜x＜1时，y′＜0，y=x³-x²-x单调递减，
当x＞1时，y′＞0，y=x³-x²-x单调递增，
关于x的方程x³-x²-x+m=0的三个实根要有三个不等实根，
则y=x³-x²-x的图象与y=-m的图象有三个交点，
即y|x=-

1

3

＞-m＞y|x=1，
即-

5

27

＜m＜1，
即m的最小值为-

5

27

，
故答案为：-

5

27

点评：学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．