Question

已知向量

a

=（2cos（x-

π

6

），-2sin（x-

π

4

）），

b

=（cos（x-

π

6

），-sin（x+

π

4

）），f（x）=

a

•

b

-2．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

12

]的最值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

-2
=2cos2(x-

π

6

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=1+cos(2x-

π

3

)-sin(2x+

π

2

)-2
=cos(2x-

π

3

)-cos2x-1
=sin(2x-

π

6

)-1
∴函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，∴-

π

3

≤x≤0，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)≤0，
∴f（x）的最大值是0，最小值是-

3

2

-1．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．