Question

5．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比q＞1，S₂=6，且a₂是a₃与a₃-2的等差中项．
（1）求a_n和S_n；
（2）设b_n=log₂a_n，求T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$．

Answer 1

分析 （1）联立a₁（1+q）=6及2a₁q=a₁+a₁q²-2，计算可知q=2、a₁=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₁（1+q）=6，①
2a₁q=a₁+a₁q²-2，即a₁（q²-2q+1）=2，②
①÷②并化简得：3q²-7q+2=0，
解得：q=2或q=$\frac{1}{3}$（舍），
代入①并化简得：a₁=2，
则a_n=2ⁿ，S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（2）由（1）可知b_n=log₂a_n=n，
∵$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．