Question

15．今年宁徳市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5-$\frac{2}{5x}$（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%）
（Ⅰ）将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；
（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入-月生产成本-月广告费）．

Answer 1

分析 （I）该电机的月生产成本（25T+5）万元，月销售收入为（25T+5）×120%+x•50%，月利润为S=（25T+5）×120%+x•50%-（25T+5）-x，整理即得；
（II）由利润函数S的解析式，利用基本不等式可得L的最大值．

解答 解：（I）由题意知，该电机的月生产成本为（25T+5）万元，
月销售收入为（25T+5）×120%+x•50%，…（2分）
月利润为S=（25T+5）×120%+x•50%-（25T+5）-x，
即S=5T+1-$\frac{1}{2}$x．又T=5-$\frac{2}{5x}$（1≤x≤5），…（4分）
所以S=5T+1-$\frac{1}{2}$x=26-$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{2}$x（1≤x≤5）．．…（7分）
（II）由S=26-$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{2}$x=26-（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$x）≤26-2$\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{x}{2}}$=24  …．（10分）
当且仅当$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{2}$x，即x=2时，S有最大值24．…（11分）
因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．…..（12分）

点评 本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值．