Question

（1）若a，b为实数，且a+b=2，求3^a+3^b的最小值；
（2）利用基本不等式证明不等式：已知a＞3，求证 a+

4

a-3

≥7；
（3）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求

4

x

+

9

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式的性质、指数运算法则即可得出；
（2）变形利用基本不等式的性质即可得出；
（3）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： （ 1 ）解：∵3^a＞0，3^b＞0且a+b=2，
∴由基本不等式得：3a+3b≥2

3a+b

=6，当且仅当3^a=3^b且a+b=2，即a=b=1取等号．
∴3^a+3^b的最小值是6．
（2）证明：∵a＞3，∴a+

4

a-3

=(a-3)+

4

a-3

+3≥2

(a-3)• 4 a-3

+3=7；
当且仅当a-3=

4

a-3

，即a=5时等号成立．
（3）解：∵

4

x

+

9

y

=（

4

x

+

9

y

）•1=（

4

x

+

9

y

）•（x+y）=13+

4y

x

+

9x

y

≥25，
当且仅当

4y

x

=

9x

y

且x+y=1，即x=

2

5

，y=

3

5

取等号，
∴

4

x

+

9

y

得最小值为25．

点评：本题考查了指数运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题．