Question

在△ABC中，ABC所对的边分别为a、b、c，

3

csinB+bcosC=c+a
（1）求B；
（2）若a+c=2

6

，b=2

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理可求得cosB的值，进而求得B的值．
（2）利用余弦定理和已知a+c的值，整理可求得ac的值，进而利用三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

3

csinB+bcosC=c+a，
∴

3

sinCsinB+sinBcosC=sinC+sinA，
∴

3

sinCsinB+sinBcosC=sinC+sin（B+C）
∴

3

sinCsinB+sinBcosC=sinC+sinBcosC+cosBsinC
∴

3

sinCsinB=sinC+cosBsinC
∴

3

sinB=1+cosB，
∴3sin²B=1+2cosB+cos²B，
∴3-3cos²B=1+2cosB+cos²B，整理得2cos²B+cosB-1=0，
∴cosB=-1或

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
（2）∵（a+c）²=a²+c²+2ac=24
∴a²+c²=24-2ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

24-2ac-12

2ac

=

1

2

，
∴ac=4，
∴S_△ABC=

1

2

•ac•sinB=

1

2

×4×

3

2

=

3

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．要求学生对正弦定理和余弦定理公式能灵活应用．