题目内容

设二次方程anx2－an+1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α、β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．

(1)试用an表示an+1；

(2)求证：{an－}是等比数列；

(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．

答案：
解析：

　　解：(1)根据根与系数的关系，有关系式

　　代入已知条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3．

　　∴an+1＝an＋．

　　(2)由于an+1＝an＋，改写为an+1－＝(an－)．

　　故{an－}是等比数列．

　　(3)当a1＝时，a1－＝．

　　故{an－}是以为首项，以为公比的等比数列．

　　∴an＝＋()n，n＝1，2，3，…，

　　即数列{an}的通项公式是an＝＋()n，n＝1，2，3，…．

　　思路分析：这是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，找到递推关系即可求解．


练习册系列答案
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（1）试用an表示an+1；
（2）求证：{an-
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}是等比数列；
（3）设cn=n•(an-
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（1）证明：{an-
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}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设cn=n•(an-
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)，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜2，（n∈N+）．

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