Question

设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；            
（2）证明{an-

2

3

}是等比数列；
（3）设cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：Tn＜

4

3

（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到结论；
（2）对（1）的结论两边同时减去

2

3

整理即可证{an-

2

3

}是等比数列；
（3）确定{c_n}的通项，由此利用错位相减法，即可证得结论．

解答：（1）解：∵二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有两根α和β，
∴由韦达定理得：α+β=

an+1

an

，α•β=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6•

an+1

an

-2•

1

an

=3，
∴a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

，n∈N₊；
（2）证明：∵a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

，∴a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

），
∵a₁=1，∴a₁-

2

3

=

1

3

∴{an-

2

3

}是以

1

3

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）知，a_n-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1
∴cn=n•(an-

2

3

)=

n

3

•(

1

2

)n-1
∴T_n=

1

3

[1+2•

1

2

+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1]，
∴

1

2

T_n=

1

3

[1•

1

2

+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+（n-1）•（

1

2

）^n-1+n•（

1

2

）ⁿ]，
两式相减可得

1

2

T_n=

1

3

[1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ]
∴T_n=

2

3

-

2

3

•（

1

2

）ⁿ-

1

3

n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴T_n＜

2

3

＜

4

3

．

点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查，考查不等式的证明，综合性强，难度大．