Question

设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
（1）证明：{an-

2

3

}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：T_n＜2，（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）6α-2αβ+6β=3，即6•

an+1

an

-2

1

an

=3，可推出an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊，由此能证明{an-

2

3

}是等比数列，并能求出并求{a_n}的通项公式．
（2）由an-

2

3

=(

1

2

)n，知cn=n(

1

2

)n，由此利用错位相减法能证明：T_n＜2，（n∈N₊）．

解答：解：（1）∵二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有两根α和β，
且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
∴6•

an+1

an

-2

1

an

=3，
∴an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊
an+1-

2

3

=

1

2

an+

1

3

-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，且a1-

2

3

=

1

2

∴{an-

2

3

}是以

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列．
∴an-

2

3

=(

1

2

)n，
故an=(

1

2

)n+

2

3

．
（2）∵an-

2

3

=(

1

2

)n，cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，∴cn=n(

1

2

)n，
T_n=1×

1

2

+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ，

1

2

Tn=1×（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+3×（

1

2

）⁴+…+n×（

1

2

）ⁿ⁺¹，
两式相减，得

1

2

Tn=

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-n×（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1-（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴T_n=2-

1

2n-1

-n•

1

2n

＜2．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．