Question

设二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N^*）有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求证：{a_n-

2

3

}是等比数列；
（3）若a₁=

7

6

，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得an+1=

1

2

an+

1

3．

．
（2）对（1）的结论两边同时减去

2

3

整理即可证：数列{an-

2

3

}是等比数列；
（3）先利用（2）求出数列{an-

2

3

}的通项公式，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由韦达定理得：α+β=

an+1

an

，α•β=

1

an

，
由6α-2αβ+6β=3得6•

an+1

an

-

2

an

=3，
故an+1=

1

2

an+

1

3．

．
（2）证明：因为an+1-

2

3

=

1

2

a_n-

1

3

=

1

2

（an-

2

3

），
所以

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

，
故数列{an-

2

3

}是公比为

1

2

的等比数列；
（3）当a1=

7

6

时，数列{an-

2

3

}的首项a1-

2

3

=

7

6

-

2

3

=

1

2

，
故an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
于是．a_n=(

1

2

)n+

2

3

．

点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．