Question

已知函数f（x）的定义域为（4a-3，3-2a²），a∈R，且y=f（2x-3）是偶函数，又g（x）=x³+ax²+

x

2

+

1

4

，存在x₀∈（k，k+

1

2

），k∈Z，使得g（x₀）=x₀，则满足条件的实数k的个数为（　　）

• A、3
• B、2
• C、4
• D、1

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：令2x₁-3=4a-3，2x₂-3=3-2a²，再由y=f（2x-3）是偶凼数可得a=-1；从而令h（x）=x³-x²-

x

2

+

1

4

，从而由零点的判定定理求解．

解答： 解：令2x₁-3=4a-3，2x₂-3=3-2a²，
从而可得，x₁=2a，x₂=3-a²，
故3-a²+2a=0；
解得，a=3或a=-1；
当a=3时，4a-3=9，3-2a²=-9；
不成立；
当a=-1时，成立；
令h（x）=x³-x²-

x

2

+

1

4

，
h′（x）=3x²-2x-

1

2

=3（x-

2- 10

6

）（x-

2+ 10

6

）；
且h（-1）=-1-1+

1

2

+

1

4

＜0，
h（-

1

2

）=-

1

8

-

1

4

+

1

4

+

1

4

=

1

8

＞0；
h（0）=

1

4

＞0，h（

1

2

）=

1

8

-

1

4

-

1

4

+

1

4

=-

1

8

＜0；
h（1）=1-1-

1

2

+

1

4

＜0，h（

3

2

）=

27

8

-

9

4

-

3

4

+

1

4

=

5

8

＞0；
从而可知，k可以取-1，0，1三个数，
故选A．

点评：本题考查了导数的综合应用及零点的判定定理的应用，属于基础题．