Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x²=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{AF}$，则双曲线C的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值．

解答 解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．
设A（m，n），则$\overrightarrow{BA}$=（m，n-1），$\overrightarrow{AF}$=（c-m，-n），
∵$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{AF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=3c-3m}\\{n-1=-3n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}c}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{3}{4}c$，$\frac{1}{4}$），
∵A在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1的右支上，
∴$\frac{9{c}^{2}}{16{a}^{2}}$-$\frac{1}{16}$=1，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{17}{9}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

点评 本题考查了双曲线的性质，平面向量的运算，属于中档题．