Question

已知函数f（x）=e^x-2x（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若存在x∈[

1

2

，2]使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，令f′（x）=0，解得x=ln2，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为求m＞(

ex-2x

x

)的最小值．令g(x)=

ex

x

-2，通过求导得到函数g（x）的最小值，从而求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，即e^x-2=0，解得x=ln2，
x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，ln2），单调递增区间为（ln2，+∞）．
（Ⅱ）由题意知?x∈[

1

2

 ， 2]使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

 ， 2]使m＞

ex-2x

x

成立；             
所以m＞(

ex-2x

x

)的最小值．
令g(x)=

ex

x

-2，g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
所以g（x）在[

1

2

 ， 1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
则g（x）_min=g（1）=e-2，所以m∈（e-2，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．