Question

如图棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．

（1）求证：A₁B₁∥平面ABE；
（2）求三棱锥V_E-ABC的体积．（V=

1

3

sh）

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由A₁B₁∥AB，能证明A₁B₁∥平面ABE．
（2）由已知得EC⊥平面ABC，且EC=1，S_△ABC=

1

2

×2×2=2，由此能求出三棱锥V_E-ABC的体积．

解答： （1）证明：∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁B₁∥AB，且A₁B₁?平面ABE，AB?平面ABE，
∴A₁B₁∥平面ABE．
（2）解：∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
∴EC⊥平面ABC，且EC=1，
又∵S_△ABC=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥V_E-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC•EC=

1

3

×2×1=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．