Question

随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间（如图）建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数f（x）=a^x（a＞1）的图象，且正好与直线y=x相切，而岛屿海岸线可近似看作函数g（x）=log_a（x-3）（a＞1）的图象．（每单位代表十万米）
（1）试求a的值及切点坐标．
（2）已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过300km/h，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意可设切点为（x₀，x₀），求出函数的导数，求出切点的斜率，得到切点的横坐标，求出纵坐标，得到结果．
（2）由（1）及f（x）=a^x与函数y=log_ax互为反函数，且f（x）与y=x相切，知f（x）=a^x与y=log_ax相切，此时两曲线只有一个公共点．转化f（x）与g（x）函数图象之间的最短距离S大于直线y=x与直线y=x-3之间的距离，然后求解高铁穿过高速通道时间最小值．

解答： 解：（1）由题意可设切点为（x₀，x₀），
则f′（x₀）=ax0ln a=1，
得ax0=

1

lna

，
x₀=log_a（

1

lna

）=-log_a（lna）=

-ln(lna)

lna

，
又因为ax0=x₀，所以

1

lna

=

-ln(lna)

lna

，解得a=e

1

e

，x₀=e，
即切点坐标为（e，e）.5分
（2）由（1）及f（x）=a^x与函数y=log_ax互为反函数，
且f（x）与y=x相切，知f（x）=a^x与y=log_ax相切，
此时两曲线只有一个公共点．
而g（x）=log_a（x-3）可由y=log_ax向右平移3个单位而得到，
所以f（x）与g（x）函数图象之间的最短距离S大于直线y=x与直线y=x-3之间的距离，
即S＞

|3|

2

=

3 2

2

（十万米）=

300 2

2

（km）．
所以高铁穿过通道的时间t＞

300 2 2

300

=

2

2

＞

1

2

．
故高铁不能在半小时内穿过高速通道.12分．

点评：本题考查函数与导数的应用，函数与反函数的关系，函数与方程的思想，实际问题的分析以及解决问题的方法，考查转化思想的应用．