Question

10．给出如下四个命题：①e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2②ln2＞$\frac{2}{3}$③π²＜3^π④$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$，正确的命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断．

解答 解：①要证e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2，只要证$\frac{2}{e}$＞ln2，即2＞eln2，
设f（x）=elnx-x，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{e}{x}$-1=$\frac{e-x}{x}$，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴f（x）＜f（e）=elne-e=0，
∴f（2）=eln2-2＜0，
即2＞eln2，
∴e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2，因此正确
②∵3ln2=ln8＞ln2.8²＞lne²=2．∴ln2＞$\frac{2}{3}$，因此正确，
③π²＜4²=16，3^π＞3³=27，因此π²＜3^π，③正确，
④∵2^π＜π²，∴$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$，④正确；
正确的命题的个数为4个，
故选：D．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．