Question

已知MN是边长为2的正△ABC内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，则

PM

•

PN

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系，利用正三角形的中心的性质，可得内切圆的半径r=

3

3

．可得正△ABC内切圆的方程为x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．设P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N(-x0，

2 3

3

-y0)．再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵⊙D是边长为2的正△ABC内切圆，
∴内切圆的半径r=

1

3

|OC|=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．
∴正△ABC内切圆的方程为x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．
设P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N(-x0，

2 3

3

-y0)．
∴

x

2 0

+(y0-

3

3

)2=

1

3

，即

x

2 0

+

y

2 0

-

2 3

3

y0=0．
∴

PM

•

PN

=(x0-t，y0)•(-x0-t，

2 3

3

-y0)
=t2-

x

2 0

-

y

2 0

+

2 3

3

y0
=t²，
∵-1≤t≤1．
∴t²∈[0，1]．
∴则

PM

•

PN

的取值范围的取值范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评：本题考查了正三角形的中心的性质、内切圆的方程、数量积的运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．