Question

已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求使恒成立的实数的取值范围．

Answer 1

（I）；（Ⅱ） .

试题分析：（I）首先由求得.为了求得通项公式，应由消去推得的递推公式：，即，显然这是一个等比数列，由此可得其通项公式.
（Ⅱ）首先将化简：，显然用裂项法可求得： .
不等式对任意恒成立，也就是恒成立，所以.
设，下面就来求其最大值.求数列的最值，首先研究数列的单调性.研究数列的单调性，一般考查相邻两项的差的符号.，由此可知，时，数列单调递减，时，数列单调递增.所以最大，从而.
试题解析：（I）由可得，               1分
∵， ∴，
∴，即，                  3分
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴．   5分
（Ⅱ） 7分
∴          8分
由对任意恒成立，即实数恒成立；
设，，
∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增；     10分
又，∴数列最大项的值为
∴                           12分