Question

18．已知方程mx²+（m-4）y²=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）求m的取值范围；
（2）当m=2时，直线y=kx+2与双曲线右支交于不同的两点A、B，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把方程化为$\frac{m}{2m+2}$x²+$\frac{m-4}{2m+2}$y²=1，令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2m+2}＞0}\\{\frac{m-4}{2m+2}＜0}\end{array}\right.$，求出m的取值范围即可；
（2）m=2时方程化为x²-y²=3，与直线方程联立消去y，得（1-k²）x²-4kx-7=0，则该方程有两个不相等的正实数根即可．

解答 解：（1）方程mx²+（m-4）y²=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线，
∴2m+2≠0，即m≠-1，
∴方程化为$\frac{m}{2m+2}$x²+$\frac{m-4}{2m+2}$y²=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2m+2}＞0}\\{\frac{m-4}{2m+2}＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1或m＞0}\\{-1＜m＜4}\end{array}\right.$，
即0＜m＜4；
（2）当m=2时，方程mx²+（m-4）y²=2m+2化为x²-y²=3，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{-y}^{2}=3}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去y，得（1-k²）x²-4kx-7=0；
则1-k²≠0①，
△=16k²+28（1-k²）＞0②，
$\frac{4k}{1{-k}^{2}}$＞0③，
$\frac{-7}{1{-k}^{2}}$＞0④；
由①②③④组成不等式组，解得：
-$\frac{\sqrt{21}}{3}$＜k＜-1，
所以直线y=kx+2与双曲线右支交于不同的两点A、B时，
k的取值范围是-$\frac{\sqrt{21}}{3}$＜k＜-1．

点评 本题考查了双曲线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与二次方程的应用问题，是综合性题目．