Question

5．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各棱与平面A₁B₁CD所成的角可为0°，45°，各面的对角线与平面A₁B₁CD所成的角可为0°，90°，30°．

Answer 1

分析 画出正方体，可以看出所有与AB平行的棱和平面A₁B₁CD成0°角，容易说明BC₁⊥平面A₁B₁CD，从而可以求出其它棱和该平面成的角都为45°．可以看出面对角线B₁C，A₁D和平面A₁B₁CD成0°角，而由前面知BC₁，AD₁和该平面成90°角，其它的面对角线和该平面所成角按线面角的求法求出即可．

解答 解：如图，
AB∥平面A₁B₁CD；
∴和AB平行的棱与平面A₁B₁CD所成角为0°；
设BC₁与B₁C交于点O，∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴BC₁⊥A₁B₁，又BC₁⊥B₁C，A₁B₁∩B₁C=B₁；
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD；
∴∠BB₁O是BB₁和平面A₁B₁CD所成角，且为45°；
∴和BB₁平行的棱与平面A₁B₁CD所成角为45°；
同样可得到BC和平面A₁B₁CD所成角为45°；
∴各棱与平面A₁B₁CD所成角可为：0°，45°；
面对角线A₁D和B₁C都在平面A₁B₁CD内，∴这两条对角线和该平面所成角为0°；
BC₁⊥平面A₁B₁CD，∴BC₁，AD₁和该平面成90°角；
连接A₁O，则∠C₁A₁O为面对角线A₁C₁所成角；
在Rt△OA₁C₁中，A₁C₁=2C₁O；
∴$sin∠{C}_{1}{A}_{1}O=\frac{1}{2}$；
∴∠C₁A₁O=30°；
同理可以求出其它对角线和该平面成的角都为30°；
∴各面对角线和平面A₁B₁CD所成角可为：0°，90°，30°．
故答案为：0°，45°；0°，90°，30°．

点评 考查正方形的对角线互相垂直，线面垂直的性质，及线面垂直的判定定理，以及直线和平面所成角的定义及求法．