Question

17．已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c²-（a-b）²，则tanC=$\frac{8}{15}$．

Answer 1

分析 由已知等式及余弦定理可解得：$\frac{1-cosC}{sinC}$=$\frac{1}{4}$，利用倍角公式及同角三角函数关系式可求tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，利用倍角公式即可求得tanC的值．

解答 解：∵由题意可得：S=c²-（a²+b²）+2ab=-2abcosC+2ab=2ab（1-cos C）=$\frac{1}{2}$absinC，
∴解得：$\frac{1-cosC}{sinC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}\frac{C}{2}}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{C}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{4}}{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{8}{15}$．
故答案为：$\frac{8}{15}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，倍角公式及同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．