Question

20．如图，四边形ABCD是正方形，S为四边形ABCD所在平面外一点，SA=SB=SC=SD，P，M，N分别是SC，SB，SD上的点，且PC：SP=SM：MB=SN：ND=2：1，求证：SA∥平面PMN．

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点G，取SC的中点H，连接BH、DH、GH，由已知条件推导出面HBD‖面PMN，再由中位线定理得到SA‖GH，由此能证明SA‖面PMN．

解答 证明：连结AC、BD，交于点G，取SC的中点H，连接BH、DH、GH，
∵四边形ABCD是正方形，S为四边形ABCD所在平面外一点，
SA=SB=SC=SD，P，M，N分别是SC，SB，SD上的点，且PC：SP=SM：MB=SN：ND=2：1，
∴$\frac{SP}{PH}=\frac{SM}{MB}=\frac{SN}{ND}=2$，
∴PM∥HB，PN∥HD，
∵PM∩PN=P，HB∩HD=H，
PM?平面PMN，PN?平面PMN，HB?平面HBD，HD?平面HBD，
∴面HBD‖面PMN
又GH?面HBD，所以GH‖面PMN
在△SAC中，G、H分别是AC、SC中点，∴SA‖GH，
综上所述，SA‖GH，GH‖面PMN，
∴SA‖面PMN．

点评 本题考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．