Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n=pn²-n，其中p∈R，n∈N^•，且a₃=4．
（Ⅰ）求常数p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件得到6p-p-1=4，由此能求出p=1，再由公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=log₂b_n=2n-2，得${b}_{n}={2}^{{a}_{n}}$=4^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{nb_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2pn-p-1，
∵a₃=4，∴6p-p-1=4，解得p=1，
∴${S}_{n}={n}^{2}-n$，∴n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{n}^{2}-n）-[（n-1）^{2}-（n-1）]$=2n-2，
即a_n=2n-2，
当n=1时，a₁=S₁=p-1=0，满足a_n=2n-2．
∴p=1，a_n=2n-2，n∈N^*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=log₂b_n=2n-2，
∴${b}_{n}={2}^{{a}_{n}}$=4^n-1，
∴数列{nb_n}的前n项和：
T_n=4⁰+2×4+3×4²+…+n×4^n-1，①
4T_n=4+2×4²+3×4³+…+（n-1）×4^n-1+n•4ⁿ，②
①-②，得：$-3{T}_{n}={4}^{0}+4+{4}^{2}+…+{4}^{n-1}-n•{4}^{n}$
=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}-n•{4}^{n}$
=$\frac{（1-3n）•{4}^{n}-1}{3}$．
∴${T}_{n}=\frac{（3n-1）•{4}^{n}+1}{9}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和错位相减法的合理运用．