Question

3．已知函数f（x）=（x²-x+1）e^x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=（x²+x）e^x，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由f′（x）=（x²+x）e^x，利用导数性质能求出f（x）在区间[-1，1]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x+1）e^x=（x²+x）e^x，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞0，∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞）；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，∴f（x）的单调递减区间为（-1，0）．
（2）∵f′（x）=（x²+x）e^x，
∴x∈（-1，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，1）时，f′（x）＞0．
又f（-1）=（1+1+1）e^-1=$\frac{3}{e}$，
f（0）=（0-0+1）e⁰=1，
f（1）=（1-1+1）e=e．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最小值f（x）_min=f（0）=1，最大值f（x）_max=f（1）=e．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．