Question

19．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=$\sqrt{2}$．
（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；
（2）若BC=2，求点A到平面SBD的距离h的值．

Answer 1

分析 （1）证明：AD⊥SC，SA⊥SC，可得SC⊥平面SAD，即可证明平面SAD⊥平面SBC；
（2）利用等体积方法求点A到平面SBD的距离h的值．

解答 （1）证明：侧面SDC⊥底面ABCD，有AD⊥SC，AD⊥SD
故△ADS为Rt△，有SD²+AD²=SA²
且AD=BC，SD=$\sqrt{2}$，故2+BC²=SA²
即BC²=SA²-2
连接AC，易得AC²=BC²+AB²=BC²+4
即BC²=AC²-4
那么SA²-2=AC²-4，整理后有AC²=SA²+2
又SC=$\sqrt{2}$，故AC²=SA²+SC²
所以△ASC为Rt△，有SA⊥SC
所以SC⊥平面SAD，那么平面SBC⊥平面SAD；
（2）解：由题意，BC⊥SC，SB=$\sqrt{6}$，DB=2$\sqrt{2}$，
∴DB²=SD²+SB²，∴SB⊥SD，
∴S_△SBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即点A到平面SBD的距离h的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定与性质，考查等体积方法的运用，属于中档题．