Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，椭圆上的点P与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的最大面积为1，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点Q为直线x+y-2=0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD、QE（切点分别为D、E），试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设切点为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则切线方程为x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，由已知条件推导出D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直线mx+2（2-m）y=2上，由此能证明动直线DE恒过一定点（1，

1

2

）．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，
椭圆上的点P与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的最大面积为1，
∴

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）证明：设切点为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则切线方程为x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，
∵两条切线都过x+y-2=0上任意一点Q（m，2-m），
∴得到x₁m+2y₁（2-m）=2，x₂m+2y₂（2-m）=2，
∴D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直线mx+2（2-m）y=2上，
而对任意的m，直线mx+2（2-m）y=2始终经过定点（1，

1

2

）．
∴动直线DE恒过一定点（1，

1

2

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查动直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意椭圆的切线方程的合理运用．