Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=

2

AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A-PB-D的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理即可证明平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）根据直线和平面所成角的定义即可求AE与平面PDB所成的角的大小．
（Ⅲ）利用面积法，求二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=0，连结OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PBD于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵O，E分别为DB，PB的中点，∴OE∥PD，OE=

1

2

PD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，CE⊥AO，
则Rt△AOE中，OE=

1

2

PD=

2

2

AB=A0，
∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
（Ⅲ）解：∵AC⊥平面PBD，∴△ABD为△ABD在平面PDB内的射影图形，
二面角A-PB-D的余弦值
∴cosθ=

S△OBP

S△ABP

=

1 2 × 2 2 × 2

1 2 ×1× 3

=

3

3

，
则二面角A-PB-D的正弦值sinθ=

6

3

．

点评：本题主要考查平面和平面垂直的判定，以及空间二面角和线面角的求解，考查学生的推理能力．