题目内容

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是下底面对角线AC和BD的交点，求证：
（1）B1O∥平面A1DC1
（2）平面A1DC1⊥平面BB1D1D．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）设A1C1∩B1D1=O1，连结DO1，由已知条件推导出DOB1O1是平行四边形，由此能证明B1O∥面A1DC1．      
（2）由已知得DD1⊥A1C1，A1C1⊥面B1D1BD，由此能证明平面A1DC1⊥平面BB1D1D．
解答： （本题14分）
证明：（1）设A1C1∩B1D1=O1，连结DO1，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴B1BDD1是平行四边形，
∴B1D1∥BD且B1D1=BD…（3分）
又O1，O分别是B1D1，BD的中点，
∴O1B1∥DO且O1B1=DO，∴DOB1O1是平行四边形…（5分）
∴B1O∥DO1，DO1?面A1DC1，B1O?面A1DC1，
∴B1O∥面A1DC1．…（8分）      
（2）∵DD1⊥面A1B1C1D1，
∴DD1⊥A1C1…（10分）
又∵A1C1⊥B1D1，
∴A1C1⊥面B1D1BD…（12分）
又A1C1?平面A1DC1，
∴平面A1DC1⊥平面BB1D1D．…（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，
3
2
）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=
2
AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A-PB-D的正弦值．
已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）．（a＞0且a≠1．）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0的x的解集．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），求x0的取值范围．
设M为曲线C上任意一点，F（l，0）为定点，已知点M到直线x=4的距离等于2|MF|．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆x2+y2=2的任意一条切线，且与曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点．试推断是否存在直线l，使
OA
•
OB
=1？若存在，求出直线z的方程；若不存在，请说明理由．
已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为
3
2
2
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知A，B是抛物线C上的两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为M，设线段AB的中点为N，证明：存在λ∈R，使得
MN
=λ
OF
；
（3）在（2）的条件下，若抛物线C的切线BM与y轴交于点R，直线AB两点的连线过点F，试求△ABR面积的最小值．
点P（0，-1）是椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．求椭圆C1的方程．
已知向量
a
=（1，2），
b
=（cosα，sinα），设
m
=
a
+t
b
（t为实数）．
（Ⅰ）若α=
π
4
，求当|
m
|取最小值时实数t的值；
（Ⅱ）若
a
⊥
b
，问：是否存在实数t，使得向量
a
-
b
和向量
m
的夹角为
π
4
，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若
a
⊥
m
，求实数t的取值范围．

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