Question

曲线C₁的极坐标方程ρcos²θ=sinθ，曲线C₂的参数方程为

x=3-t y=1-t

，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点最近的距离为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：曲线C₁的极坐标方程ρcos²θ=sinθ，化为ρ²cos²θ=ρsinθ，可得直角坐标方程x²=y．曲线C₂的参数方程为

x=3-t y=1-t

，化为直角坐标方程x-y-2=0．设P（x，x²）为曲线C₁：x²=y上的任意一点．利用点到直线的距离公式和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：由曲线C₁的极坐标方程ρcos²θ=sinθ，化为ρ²cos²θ=ρsinθ，化为x²=y．
曲线C₂的参数方程为

x=3-t y=1-t

，化为x-y-2=0．
设P（x，x²）为曲线C₁：x²=y上的任意一点．
则曲线C₁上的点P到曲线C₂上的点的距离d=

|x-x2-2|

2

=

|(x- 1 2 )2+ 7 4 |

2

≥

7 2

8

．当且仅当x=

1

2

，即取点P(

1

2

，

1

4

)时取等号．
∴曲线C₁上的点与曲线C₂上的点最近的距离为

7 2

8

．
故答案为：

7 2

8

．

点评：本题考查了极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式和二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．