题目内容
设y=x3+x（x∈R），当0≤θ≤
时，f（msinθ）+f（m）＞0恒成立，则实数m的取值范围为 ．
| π |
| 2 |
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（m）＞0恒成立，转化为msinθ＞-m恒成立，由0≤θ≤
，可求得实数m的取值范围．
| π |
| 2 |
解答：
解：∵f（x）=x3+x，
∴f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x），
∴函数f（x）=x3+x为奇函数；
又f′（x）=3x2+1＞0，
∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（m）＞0恒成立?f（msinθ）＞f（-m）恒成立，
∴msinθ＞-m（0≤θ≤
）恒成立?m（1+sinθ）＞0恒成立，
由0≤θ≤
知，0≤sinθ≤1，1≤1+sinθ≤2，∴m＞0，
∴实数m的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
∴f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x），
∴函数f（x）=x3+x为奇函数；
又f′（x）=3x2+1＞0，
∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（m）＞0恒成立?f（msinθ）＞f（-m）恒成立，
∴msinθ＞-m（0≤θ≤
| π |
| 2 |
由0≤θ≤
| π |
| 2 |
∴实数m的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．
练习册系列答案
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