Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若△AF₁F₂为正三角形且周长为6；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上存在A，B两点关于直线y=x+m对称，求实数m的取值范围；
（3）若直线l：y=kx+n与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证直线l过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件推导出

a=2c 6c=6

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线AB的方程为y=-x+p，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由

3x2+4y2=12 y=-x+p

，得7x²-8px+4p²-12=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出实数m的取值范围．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，推导出7m²+16mk+4k²=0，由此能求出直线l过定点（

2

7

，0）．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
△AF₁F₂为正三角形且周长为6，
∴

a=2c 6c=6

，解得c=1，a=2，b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设直线AB的方程为y=-x+p，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

3x2+4y2=12 y=-x+p

，得7x²-8px+4p²-12=0
∵△=64p²-28（4p²-12）＞0，
∴-

7

＜n＜

7

∵x₁+x₂=

8p

7

，x₁x₂=

4p2-12

7

，
设A．B的中点C（x₀，y₀），
则 x0=

4p

7

，y0=

5

7

p，
点C在l：y=x+m上
∴p=7m，即-

7

＜7m＜

7

，得-

7

7

＜m＜

7

7

．
∴实数m的取值范围是（-

7

7

，

7

7

）．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，
∴y₁y₂=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，m₂=-

2

7

k，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾
当m1=-

2

7

时，l的方程为y=k（x-

2

7

），则直线过定点（

2

7

，0）
∴直线l过定点，定点坐标为（

2

7

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查直线过定点的判断与定点的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．