Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x，求证：当x＞-1时，恒有1-

1

x+1

≤ln（x+1）≤x．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,不等式的证明

专题：导数的综合应用

分析：由（1）知f（0）为最小值，即f（x）≥f（0），由此可证ln（x+1）≤x；令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，利用导数可证明g（x）≥g（0），由此可证明ln（x+1）≥1-

1

x+1

．

解答： 解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=0时f（x）取得极大值f（0）=0，无极小值，
由（1）知，x=0为f（x）唯一的极大值点，也即最大值点，
所以当x＞-1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，
所以ln（x+1）≤x；
令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，则g′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=0是g（x）唯一的极小值点，也即最小值点，
所以g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+

1

x+1

-1≥0，
所以ln（x+1）≥1-

1

x+1

．
综上，x＞-1时，有1-

1

x+1

≤ln（x+1）≤x．

点评：本题考查应用导数求函数的极值、最值及导数研究函数单调性，考查综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，其中特值探求k值是解决问题的“良方”．