Question

19．函数g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{g（x）+x（x＜g（x））}\\{g（x）-x（x≥g（x））}\end{array}}$，则f（x）的值域为$[-\frac{9}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 由x²-2＞x，解得x＞2，或x＜-1．可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2，x＞2或x＜-1}\\{{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2}\end{array}\right.$，通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由x²-2＞x，解得x＞2，或x＜-1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2，x＞2或x＜-1}\\{{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2}\end{array}\right.$，
①-1≤x≤2时，f（x）=x²-x-2=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$，可知：函数f（x）在$[-1，\frac{1}{2}]$内单调递减；在$（\frac{1}{2}，2]$内单调递增．
f（-1）=0，f（2）=0．∴f（x）∈$[-\frac{9}{4}，0]$．
②x＞2，或x＜-1时，f（x）=x²+x-2=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$，利用单调性可得：f（x）＞f（-1）=-2，或f（x）＞f（2）=4，可得f（x）∈（-2，+∞）．
综上可得：f（x）∈$[-\frac{9}{4}，+∞）$．
故答案为：$[-\frac{9}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了分段函数的应用、不等式的解法、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．