Question

【题目】如图，点分别为椭圆的左右顶点和右焦点，过点的直线交椭圆于点.

（1）若，点与椭圆左准线的距离为，求椭圆的方程；

（2）已知直线的斜率是直线斜率的倍.

①求椭圆的离心率；

②若椭圆的焦距为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②

【解析】

由所给条件列出关于的式子，求出椭圆方程；（2）①方法一，首先利用点在椭圆上，求得，再利用直线方程与椭圆方程联立，求得，再利用的关系，求得椭圆离心率；方法二，利用的关系，分别设直线的方程为，直线的方程为，与椭圆方程联立，解出点的坐标，利用点三点共线，求得离心率.②首先求得椭圆方程，并表示面积，由①方法一，代入根与系数的关系，求面积的最大值.

（1）∵，点与椭圆左准线的距离为，

∴解得

∴椭圆的方程为.

（2）①法一：显然，，，设，，

则∵点在椭圆上，∴，

∴(i)，

设直线，

与椭圆联立方程组消去得：

，其两根为，

∴(*)

∴

，

将(*)代入上式化简得：(ii)

又（iii）

由（i）（ii）（iii）得：，

∴，即，解得或，

又，∴，即椭圆的离心率为.

法二：显然，，，

∵，∴设直线的方程为，直线的方程为.

由得，

注意到其一根为，∴另一根为，

∴，即，

同理由得.

由三点共线得，

∴，

化简得：，∴，

∴，即椭圆的离心率为.

②由①，又椭圆的焦距为，∴，∴，∴，

由①方法一得

∴面积

，

令，，则，，

∵，∴在为减函数，

∴，即时，，即面积的最大值为.