Question

【题目】定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”．

（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；

（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；

（3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”．

Answer 1

【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数求出函数的极大值，结合题中定义判断即可；

（2）分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用题中定义得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围；

（3）求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，设函数的极值点分别为、，可知、是方程的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数的极大值为负数，由此可证得结论.

（1）函数是“函数”，理由如下：

因为，则，

当时，；当时，，

所以函数的极大值，故函数是“函数”；

（2）函数的定义域为，.

当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；

当时，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以函数的极大值为，

易知，解得，

因此，实数的取值范围是；

（3） ，因为，，则，

所以有两个不等实根，设为、，

因为，所以，，不妨设，

当时，，则函数单调递增；

当时，，则函数单调递减.

所以函数的极大值为，

由得，

因为，，

所以

．

所以函数是“函数”．