题目内容
【题目】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵
中，
，
.给出下列四个结论：
①四棱锥
为阳马；
②直线
与平面
所成角为
；
③当
时，异面直线
与
所成的角的余弦值为
；
④当三棱锥
体积最大时，四棱锥
的外接球的表面积为
.
其中，所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
对于①，由堑堵
的性质得
，则可证
平面
，即四棱锥
为阳马；
对于②，可知
为直线
与平面所成角，通过分析②不正确；
对于③，可知
为异面直线
与
所成的角(或补角)，由余弦定理得其余弦值为
；
对于④，三棱锥
体积为
，由基本不等式可知
时，
最大，故可将三棱柱补成长方体
，则长方体的外接球与四棱锥
的外接球为同一个球，从而可求出四棱锥的外接球的表面积.
对于①，因为在三棱柱中，
平面
，∴，又
，∴平面，即四棱锥为阳马；故①正确；
对于②，由①可知平面，∴为直线与平面所成角，
假如
，则
为等腰直角三角形，所以
，这与在
中
矛盾；故②不正确；
对于③，当
时，
，
，
，
，
∵
，∴为异面直线与所成的角(或补角)，
在
中，
，故③正确；
对于④，三棱锥体积为
，
当且仅当时，取“
”，现将三棱柱补成长方体，
则长方体的外接球与四棱锥的外接球为同一个球，
所以球的直径
，所以
，故④正确.
故答案为：①③④
【题目】我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．
为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：
年龄区间 |
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有意愿数 | 80 | 81 | 87 | 86 | 84 | 83 | 83 | 70 | 66 |
（1）设每个年龄区间的中间值为
，有意愿数为
，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数
（结果保留两位小数）；
（2）从
，
，
，
，
这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．
（参考数据和公式：
，
，
，
，
，
）
