题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面
是菱形，
，
平面，
，
与平面所成的角为
，点
为
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的正切值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）首先根据条件证明
，
，即
平面
，再根据平面垂直平面的判定即可得到平面
平面
.
（2）首先以
为原点，
，
，
分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角的正切值即可.
（1）因为四边形
是菱形，所以，
又因为
平面，
平面，所以，
又因为
，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）设
与
交于点，连接，
因为，
分别为
，的中点，所以
.
因为平面，所以
平面.
又因为四边形为菱形，
，
所以
.
因为平面，
所以
为
与平面所成的角，
所以
，
.
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，
.
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，令
，得
.
因为
平面
，所以
为平面的法向量.
设二面角
的平面角为
，
则
，
所以
.
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