Question

【题目】设函数，曲线在点处的切线斜率为.

（1）证明：有且只有一个零点.

（2）当时，恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）2.

【解析】

（1）根据导数的几何意义，即可由切线斜率求得参数，再利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理，即可容易求得结果；

（2）先根据时，满足题意，求得的初步范围；再证时，满足题意；构造函数与，即可由函数单调性求得结果.

（1）证明：的定义域为，

，

则，解得.

，则在上单调递减，

，，

有且仅有一个零点.

（2）解：当时，，由此可得.

当时，下面证明对恒成立.

证明：.

令，则，在上单调递增，在上单调递减，

则.

令，，在上单调递减，在上单调递增，

则.

从而，又和不在同一处取到最值，则.

故当时，恒成立，从而整数的最小值为2.