Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n，数列{b_n}满足：b₁=3，b₄=11，且{a_n+b_n}为等差数列．
（I） 求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II） 求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．

解答 解：（I）因为在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n
所以，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，n∈N*，
即数列{a_n}是以首项为1，公比为2的等比数列．
所以a_n=2^n-1
设等差数列{a_n+b_n}的公差为d，
由题意得：3d=（a₄+b₄）-（a₁+b₁ ）=（2³+11）-（1+3）=15
解得d=5，
∴a_n+b_n=4+5（n-1）=5n-1，
∴b_n=5n-1-2^n-1，
（II） 由（I）知b_n=5n-1-2^n-1，
数列{5n-1}的前n项和为4n+$\frac{5n（n-1）}{2}$=$\frac{5}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n．
数列{2^n-1}的前n项和为$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
所以，数列{b_n}的前n项和$\frac{5}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和，是中档题．