Question

7．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+c²-b²）．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求（$\sqrt{3}$-1）a+2c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可求出B，
（Ⅱ）先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值

解答 解：（Ⅰ）∵S=$\frac{1}{2}$acsinB，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$即a²+c²-b²=2accosB，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+c²-b²）变形得：$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2accosB，
整理得：tanB=$\sqrt{3}$，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）∵A+B+C=π，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理知a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}sinA}{sin\frac{π}{3}}$=2sinA，
c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2sin（$\frac{2π}{3}$-A），
∴（$\sqrt{3}$-1）a+2c=2（$\sqrt{3}$-1）sinA+4sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sinA+2$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{6}$sin（A+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{6}$，
当且仅当A=$\frac{π}{4}$时取最大值，
故（$\sqrt{3}$-1）a+2c的最大值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形面积公式正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的图象和性质，属于中档题．